Задача по геометрии: Поиск длины отрезка NP

Содержимое статьи:

Копошилки

• Дано:
• Найти:
• Решение:

Дано:

• Равнобедренный треугольник ABC (AB = BC)
• Медианы AN и BD пересекаются в точке M
• Из точки M опущен перпендикуляр MP на основание AC
• MD = 4 см
  

  Найти:

• Длину отрезка NP
  

  Решение:

  1. Треугольник ABD равнобедренный. Так как AB = BC, то BD - биссектриса угла B. Следовательно, ∠ABD = ∠CBD = ∠ABC / 2.
  2. Треугольник ABD подобен треугольнику MBC. У них общие углы ∠ABD и ∠CBD. Значит, AB / BM = BD / CM.
  3. Так как BD - медиана, то BD = AD = DC.
  4. Выразим MD через AD и DC. MD = AD - AM = BD - BM = AD - AP.
  5. Так как BD = AD, то AD - AP = 4 см.
  6. Подобные треугольники имеют пропорциональные стороны. Следовательно, AB / BM = AD / AP = 4 / 4.
  7. Так как AB = BC, то BM = MC.
  8. Тогда AM = BM - AB = AB - AB = 0 см.
  9. Из треугольника MPD: MP^2 + DP^2 = MD^2
  10. Из треугольника MNP (прямоугольный): MN^2 + NP^2 = MP^2
  11. Поскольку AP = 0, то из треугольника MNP: MN = MP
  12. Подставим MN = MP в уравнение из шага 10: MP^2 + NP^2 = MP^2 → NP^2 = 0
  13. Следовательно, NP = 0 см.